¿Cuál es la probabilidad de que dos números, elegidos al azar bajo una cota determinada, sean primos entre sí?

Los dos números no deberán tener ningún factor primo común. Empezando por el 2, la probabilidad de que un número lo contenga es 1/2, por lo que la de que no lo contenga alguno de los dos vale: 

p₂ = 1 - 1 / 2²

Análogamente la de que no contengan en común el factor 3:

p₃ = 1 - 1 / 3²

Y así sucesivamente. Fácil es deducir de ahí que la probabilidad de que los dos números no tengan ningún factor primo común menor que n es:

p= (1 - 1 / 2²).(1 - 1 / 3²).(1 - 1 / 5²) ... (1 - 1 / n²)

Dónde deberá tomarse n hasta la raíz cuadrada de la cota superior.

Podemos preguntarnos que sucede cuando esta cota tiende a infinito, con lo que p se asimilaría a la probabilidad de que dos números sean primos entre sí. Podemos emplear un artificio semejante al empleado por Gauss para obtener su fórmula de la densidad de los números primos: aprovechando las propiedades de las sumas de las progresiones geométricas, escribiremos la anterior igualdad así:

p= [1 / (1 / 2²) + (1 / 2⁴) + (1 / 2⁶) + ... + ( 1 / 2^2k) + ...] .[1 / (1 / 3²) + (1 / 3⁴) + (1 / 3⁶) + ... + ( 1 / 3^2k) + ...]...

Si desarrollamos los productos indicados en los denominadores aparecerá una suma de fracciones, todas ellas con la unidad en el numerador y un cuadrado perfecto en el denominador. De hecho, al tender k a infinito, en esta suma estarán presentes todos los inversos de los cuadrados perfectos.

En efecto: el inverso de cada número cuadrado perfecto estará una vez y sólo una, pues los factores contienen todas las potencias pares de todos los números primos, por lo que la combinación de éstas producirá todos los cuadrados de los números compuestos. Por tanto, el denominador conjunto tiende, al crecer k indefinidamente, a la suma de los inversos de los cuadrados de los números, que vale según el análisis matemático:

s₂ = (1 / 1²) + (1 / 2²) + (1 / 3²) + ... + ( 1 / n²) + ... = PI²/6

Con lo cual la probabilidad pedida finalmente es:

p = 6/PI² = 0,6079

Fuente: Juegos de ingenio del club Mensa por Josep María Albaigès.