En Los Elementos, Euclides construye toda la Geometría hasta entonces conocida (la que luego se llamó Geometría euclideana) basándose en tan sólo 23 definiciones, 8 nociones comunes y 5 postulados.

El quinto y polémico postulado dice:

Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos.

 ¿Por qué el quinto postulado es polémico?

Bueno, esto fue durante mucho mucho tiempo... Unos 22 siglos después de que se escribieran los Elementos por fin se llega a una conclusión: el V postulado es independiente de los otros cuatro!!

¿Pero cuales son esos cinco postulados?

Los cinco postulados ( proposición cuya verdad se admite sin pruebas y que es necesaria para servir de base en ulteriores razonamientos) de Euclides y que necesito para construir las bases de la geometria (euclideana) son los siguientes:

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.

Pero que quiere decir que el V postulado sea independiente? Pues para dar una respuesta a esto hay que recorrer un camino sorprendente: La prueba de la independencia del V postulado lleva implícita la posibilidad de que existan geometrías en los que no se cumple este postulado. Dicho de otro modo: desde el punto de vista lógico no hay contradicción ninguna en suponer que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela a la recta, o incluso ninguna.

¿Cómo dices?

Parece difícil comprender esta afirmación, puesto que en la experiencia común sabemos que (excepto errores de dibujo), el V postulado es cierto. Para comprenderlo debemos hacer un esfuerzo de abstracción por intentar olvidar nuestro significado intuitivo de qué es una recta y acudir únicamente a las definiciones de Euclides. Y eso hicieron en el siglo XIX, Bolyai y Lobatchevsky, de forma independiente, dando conclusión al problema de la independencia del V postulado.

¿No te olvidas a Gauss?

 Sí, sí, tienes toda la razón!! Gauss ya había resuelto el problema con anterioridad pero no publicó los resultados pensando que nadie los comprendería,  así que la paternidad del descubrimiento fue para los otros dos geómetras.

La idea es muy simple: en Matemática no está permitido llegar a una contradicción, es decir, obtener un resultado que sea exactamente la negación de otro resultado. No puede obtenerse que partiendo de las mismas hipótesis sea cierto, a la vez, que (por ejemplo) dos rectas se corten y que esas dos mismas rectas no se corten. Se llegaría a la conclusión de que (de no haber cometido errores de razonamiento, claro) alguna de las hipótesis ha de ser falsa.

En resumen, si no utilizamos el V postulado se pueden construir otras geometrias no euclideanas, como las que ideó Gauss, donde las paralelas se cortan en un punto, las sumas de los angulos de un triangulo no son 180º, etc, etc etc,...